Глава 2.  Сравнение потенциальных  полей  различного  типа.

 

 

            Исследование уравнений одномерного движения, к которым фактически относятся и все рассмотренные выше задачи, приводят к дифференциальному уравнению следующего вида:

 

Это дифференциальное уравнение первого порядка, интегрирующееся путем разделения переменных (глава III стр.38 [1])

 

 

Рассмотрим решение этого интеграла для различных типов сил:

 

2.1  Силы отталкивания, пусть минимальное расстояние, определяемое начальной энергией системы, равно r_m=a

 

 

тогда

 

 

данный интеграл имеет особую точку при r = a, следовательно, решение этого интеграла при r ≥ a

 

 

но при r < a под знаком интеграла получается корень квадратный из отрицательного числа, чтобы найти первообразную, необходимо вынести минус единицу из-под корня. В результате получаем

 

   при r < a

 

 

где

 

            полученная формула имеет следующий физический смысл: в полях отталкивания тела, при заданных начальных условиях, не могут сблизиться на расстояние меньшее а.

 

2.2  Для сил притяжения максимальное расстояние –  r_m= a

 

 

найдем первообразную для этого случая

 

 

вновь получаем интеграл, имеющий особую точку при r = a, следовательно, решение этого интеграла имеет два значения – реальное и мнимое:

 

при r ≤ a  – реальное:

 

 

при r > a – мнимое:

 

 

Вывод: в полях притяжения для r > a –  время является мнимой функцией. Физический смысл полученных выражений следующий: в полях притяжения (кулоновского и гравитационного), при заданных начальных условиях, тела не могут разлететься на расстояние большее, чем  а.

Иными словами: третьей космической скорости не существует, какие бы начальные условия ни задавались, всегда будет существовать расстояние максимального удаления – а, т.е.  система тел остается связанной.

 

            Вернемся еще раз к задаче  1.2 (стр.6), несколько изменив ее:

 

        2.3  Тело  массы   m  находится  на  расстоянии  r_n  от  тела  с  массой  М.  Какова  кинетическая  энергия,  которую  необходимо  сообщить  телу  m,  чтобы  оно  удалилось  на  бесконечно  большое  расстояние?

Чтобы перевести тело на другое  расстояние ему необходимо сообщить кинетическую энергию противоположную по знаку работе гравитационных сил. Кинетическую энергию можно выразить с помощью интеграла следующего вида:

 

 

при стремлении r_k – расстояния между телами к бесконечности, кинетическая энергия, которую необходимо сообщить подвижному телу, устремляется к постоянной величине:

 

 

 

Т.о.  из  классического  решения  следует,  что,  при  сообщении  телу  m  конечного  значения  энергии,  оно  способно  удалится  на  бесконечно  большое  расстояние.

Но  это несколько противоречит выводам, полученным при решении интеграла 2.2, и элементарной логике  с  другой  стороны:

Мы  имеем  систему  из  двух  тел  и  совершаем  над  ней  работу,  логичнее  было  бы  предположить,  что  сколь  ни  малы  были  бы  силы  притяжения,  при  увеличении  размеров  системы  до  бесконечности  потребовалось  бы  совершить  работу  бесконечно  большой  величины.

            Все эти выше перечисленные математические неувязки и логические ошибки заставили усомниться в основополагающих законах современной физики.  Действительно ли энергия взаимодействия изменяется обратно пропорционально расстоянию?!!!

            Дальнейшая часть работы это поиск уравнений движения физических объектов,  которые бы соответствовали экспериментальным данным – законам Кулона и Ньютона, но были бы лишены логических и математических ошибок.

 

            2.4  Итак,  рассмотрим  задачу  о  взаимодействии  двух  одинаковых  положительных  зарядов  q, при  начальном  расстоянии  между  ними  равном  r_m.  Необходимо  найти  зависимость  r(t)  и  ее  производные – скорость  и  ускорение.

Свяжем  начало  координат  с  одним  из  зарядов, и  будем  считать  его  неподвижным.  Полная  энергия  системы  состоит  из  суммы  потенциальной  и  кинетической  энергий.

 

 

U – потенциальная энергия электростатического взаимодействия;

K – кинетическая  энергия  зарядов.

 

При  заданных  начальных  условиях:

 

где

 

При  отсутствии  внешних  воздействий,  с  течением  времени,  расстояние  между  зарядами  начнет  расти,  и  при  расстоянии  стремящемся  к  бесконечности,  величина  потенциальной  энергии  взаимодействия  устремляется  к  нулю.

 

 

 Но  полная  энергия  системы  остается  постоянной,  согласно  закона  сохранения,  следовательно,  на  бесконечно  большом  расстоянии  потенциальная  энергия  переходит  в  кинетическую  и  может  быть  выражена  в  следующем  виде:

 

 

Тогда  скорость  подвижного  заряда  на  бесконечно  большом  расстоянии  будет:

 

 

Попробуем  построить  примерный  график  (Рис.5)  зависимости  расстояния  от  времени,  используя  следующие  рассуждения:

В  первоначальный  момент  времени  расстояние  между  зарядами  равно  r_m,  начальная  скорость  равна  нулю.  По  мере  роста  временного  промежутка  и  увеличения  расстояния,  растет  и  скорость,  стремясь  в  пределе  к  вычисленному  значению  на  бесконечно  большом  расстоянии.

А  что  же  могло  быть  с  системой  в  прошлом,  до  нулевого  момента  времени?

Проведя  аналогичные  рассуждения,  мы  установим,  что,  на  бесконечно  большом  расстоянии,  подвижный  заряд  должен  был  иметь  отрицательную  скорость  (т.е.  скорость  направленную  на  уменьшение  расстояния)  равную  вычисленной  ранее,  и  только  в этом  случае  заряды  могли  сблизиться  на  расстояние  r_m.

Из  кривых  второго  порядка  к  данному  описанию  подходит  только  лишь  гипербола:

 

Пусть

Тогда:

При  t = 0

 

Но  мы  условились,  что  в  первоначальный  момент  времени  расстояние  между  частицами  равно  r_m  и,  следовательно,  формула  приобретает  следующий  вид:

 

 

Из  асимптот  гиперболы  можем  выразить  величину  b:

 

 

 

Подставим  полученное  выражение  в  формулу  гиперболы:

 

 

Ну  а  теперь  выразим  зависимости  r(t)  и  t(r):

 

 

                                   (1)

 

                                (2)

 

где  m  –  масса  подвижного  заряда.

Все  остальные  зависимости,  которые  мы  хотели  найти,  легко  выразить  из  этих  двух  формул,  путем  взятия  соответствующих  производных  и  несложных  преобразований, проделаем  это:

 

                                       (3)

 

Для  определения  v(r)  подставим  значение  (2)  в  формулу  v(t):

 

                                      (4)

 

И,  наконец, зависимость  ускорения  от  времени:

 

                                     (5)

 

При  подстановке  (2)  получаем:

 

                                      (6)

 

И  тогда  можно  выразить  зависимость  силы  от  расстояния:

 

                                        (7)

 

Таким  образом,  мы  получили  формулу  взаимодействия  зарядов,  отличающуюся  от  закона  Кулона  множителем  2r_m  и  кубом  расстояния  (а  не  квадратом)  в  знаменателе.

Где  r_m – расстояние  минимального  сближения  зарядов:

 

 

Но  если  вспомним  опыты  по  измерению  силы  взаимодействия  зарядов,  то увидим,  что  с  помощью  внешней  силы  (например,  силы  упругости,  возникающей  при  кручении  кварцевой  нити)  заряды  принудительно  удерживаются  на  определенном  расстоянии.  Таким  образом,  заряд  находится  в  нижней  части  гиперболы  и  расстояние  r  между  зарядами  равно  r_m.

Тогда  подставив  это  значение  r  в  формулу  (7),  получим:

 

 

А  так  как  силы,  действующие  на  каждый  из  зарядов,  равны,  то,  разделив  результат  на  два,  получим  выражение,  совпадающее  с  формулой  закона  Кулона:

 

 

Таким  образом,  полученные  выражения  более  полно  описывают  процессы  взаимодействия  между  зарядами,  а  при  стационарных  и  квазистационарных  состояниях  (т.е.  когда  радиальная  скорость  равна  нулю)  переходят  в  классические  кулоновские  выражения.

При  взаимодействии  противоположных  по  знаку  зарядов,  формула  гиперболы  трансформируется  в  формулу  эллипса  (Рис.6),  расстояние  r_m  меняет  свой  смысл;  это  уже  не  расстояние  минимального  приближения,  а  расстояние  максимального  удаления.

 

 

тогда  выражения,  определяющие  r(t)  и  t(r)  приобретают  следующий  вид:

 

                                               (8)

 

                                (9)

 

и  соответственно  изменяются  и  производные:

 

                     (10)

 

либо

                              (11)

 

и  ускорение:

 

                 (12)

 

либо

 

                       (13)

 

            Формулы,  описывающие  гравитационное  взаимодействие,  получаются  подстановкой  соответствующих  коэффициентов.

 

 

Где   М – масса  тела,  координаты  которого  приняты  за  начало  отсчета  системы;

G – универсальная  гравитационная  постоянная;

r_m – расстояние  максимального  удаления.

 

 И  все  формулы  соответственно  преобразуются:

 

                                             (14)

 

                              (15)

 

формулы  зависимости  скорости  от  времени  и  расстояния  примут  следующий  вид:

 

                              (16)

 

                             (17)

 

 

и,  соответственно,  ускорения:

 

                                  (18)

 

 

                                                     (19)

 

 

  2.5  Для  лучшего  понимания  полученных  выражений,  разберем  задачу  о  падении  тела  массы  m  на  тело  М,  расположенное  в  начале  координат,  при  заданных  начальных  скорости  v_n  и  расстоянии  r_n.

    Выразим,  из  формулы  скорости  (17),  расстояние  максимального  удаления  r_m:

 

 

 

 

 

нас  интересуют  только  положительные  (реальные)  значения:

 

                           (20)

 

подставляя  полученное  значение  r_m  в  формулу (15) выражающую  зависимость  времени  от  расстояния,  получаем  значение  начального  момента  времени  t_n:

 

 

 

 таким  образом, каждому  значению  r_n соответствует  два  значения  начального  времени,  положительное  и  отрицательное, что  хорошо  видно  на  Рис.5, которое  из  них  брать  не  ясно.

Поэтому  попробуем  выразить  начальный  момент  времени  t_n  более  явно,  использую  зависимость  скорости  от  времени  (16):

 

 

 

Пусть   t = t_n   и   v(t) = v_n

 

Тогда

 

либо

 

Возведем  обе  части  в  квадрат  и  выразим  t_n:

 

 

 

Теперь t_n  более  явно  выражено  в  зависимости  от  начальной  скорости,  но  какой  же  знак  брать.  Для  того  чтобы  определить  это  вспомним  график  зависимости  r(t)  Рис.5.

Из  графика  хорошо  видно,  что  если  скорость  положительна  (тело  удаляется),  то  начальное  время  отрицательно,  и  наоборот.

Таким  образом,  в  выражении  необходимо  использовать  знак  минус:

 

                                                                       (21)

 

И  зависимость  r(t)  примет  вид:

 

 

                                  (22)

 

 

соответственно  изменятся  и  производные:

 

                              (23)

 

 

                          (24)

 

 

зависимости  v(r)  формула  (17)  и  a(r)  формула  (19)  остались  без  изменений.

 

Аналогичным  образом  выводятся  формулы  электрического  взаимодействия  при  наличии  начальной  скорости:

 

                            (25)

 

где    r_m – расстояние  минимального  приближения  для  зарядов  одного  знака,  либо  расстояние  максимального  удаления  для  зарядов  разных  знаков;

k –  постоянная  электростатического  взаимодействия;

t_n – начальное  время  процесса;

t   – текущее время  процесса.

 

 

Расстояние  r_m   определяется  по  формуле:

 

                     (26)

 

где  v_n – начальная  скорость (может  быть  положительной – расстояние  увеличивается  или  наоборот)

 

                                     (27)

 

                          (28)

 

               (29)

 

Найдем зависимость величины потенциальной энергии от расстояния для полученных выражений силы. В общем  виде зависимость силы от расстояния и вида взаимодействия можно выразить:

 

где к,  в зависимости от вида взаимодействий, принимает следующие значения:

для положительных потенциальных полей –  силы электрического отталкивания

 

отрицательных потенциальных полей

 

– для гравитационных сил

 

– для сил электрического притяжения

 

Для положительных потенциальных полей

 

 

 

при калибровке в ноль на бесконечности

 

где r_m – определяется по формуле (26)

 

Для отрицательных полей

 

 

либо

  где 

 

С сохранением наложенных ограничений, как и в задаче 1.2 (стр.8), размерами объектов взаимодействия и калибровкой в ноль при стремлении к нулю расстояния между телами.

 

Таким образом, при исследовании одномерных систем установлено что электростатические и гравитационные поля с потенциалом пропорциональным 1/r² неотличимы, в лабораторных условиях (стационарных и квазистационарных опытах, т.е. таких, при которых расстояния между объектами изменяются незначительно), от этих же полей с потенциалом пропорциональным 1/r (пример на стр.20).

            Можно так же показать, что и в ближнем космосе (в солнечной системе) гравитационные поля с потенциалом пропорциональным 1/r² достаточно хорошо работают (вследствии того, что эксцентриситет орбит планет относительно мал, опять же условие квазистационарности) и даже более того, могут объяснить кое-что дополнительно (обязательность образования планетарных систем у звезд и откуда берутся кометы, причины возникновения полых небесных тел (Фобос и Деймос), “темную” массу галактик, причины замедления “Пионера”…).

            Естественно, что в связи с этим возникает множество вопросов, например: формулировка закона сохранения момента количества движения и пр. … Но эти вопросы необходимо решать, ключом  к  этому решению являются силы Кориолиса, которые ответственны за перераспределение кинетической энергии между тангенциальной и радиальной составляющими и, соответственно, изменяют баланс сил и энергий в системе.

 

Вывод из этой главы: получены пространственно – временные зависимости для движущихся объектов при  взаимодействиях  различного вида и их производные – скорость и ускорение, а  так же зависимость силы от расстояния, при этих взаимодействиях, переходящие в классические законы Кулона и Ньютона при стационарных и квазистационарных состояниях (т.е. при равенстве нулю радиальной скорости).